Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022 MÔN TOÁN Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 I. Cấp số cộng, cấp số nhân 1. Cấp số cộng a. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai) b. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2 u u c. Tính chất của các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n2u (n 1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 2. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q , với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 , với k 2 Sn nu1 ,q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn ,q 1 1 q u1 u3 u5 10 Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u1 u6 17 2 10 u1 u3 u5 10 u1 d u1 16 Hướng dẫn giải. Ta có: u1 u6 17 2u1 5d 17 d 3 Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23. u54 u1 53d Hướng dẫn giải. Ta có:un u1 n 1 d . u4 u1 3d 143 5 33 Giải hệ phương trình, ta được: u ,d u u 22d 1 2 2 23 1 2 Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết: u3 3,u5 27 2 u3 3 u1q 3 1 Hướng dẫn giải. Ta có: u1 ,q 3 u 27 4 3 5 u1q 27 1 1 Vậy có hai dãy số: ,1,3,9,27 và , 1,3, 9,27 3 3 II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn 1. Quy tắc đếm 1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ. Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4 có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà trường. Giải: Tổ 1 có 9 cách chọn + + Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn. Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ô tô, tàu hỏa, tàu thủy và máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày. Giải: Đi bằng ô tô có 10 cách+ +1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn. 1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp nhau.
2. n A Xác suất của biến cố A được tính theo công thức P A . n  Trong đó: n A là số phần tử của biến cố A; n  là số phần tử của không gian mẫu. Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để: a) Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ. b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. 3 Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n  C12 220. n A 35 7 a) XS của bc A là P A . n  220 44 n B 140 7 b) XS của bc B là P B . n  220 11 Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến thuê phòng cùng một lúc trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để: a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ. b) Có ít nhất 2 khách nữ. 6 Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n  C10 210. n A 90 3 a) XS của bc A là P A . n  220 7 b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau: 2 4 3 3 4 2 + Hai nữ, 4 nam: C4 .C6 . + Ba nữ, 3 nam: C4 .C6 . + Bốn nữ, 2 nam: C4 .C6 . 2 4 3 3 4 2 Suy ra số phần tử của biến cố B là C4 .C6 +C4 .C6 +C4 .C6 =185. n B 185 37 Vậy XS của bc B là P B . n  210 42 Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để: a) Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng. b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng. 3 Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n  C100. n A C3 2 n B C1.C 2 1 10 b) P B 1 5 . a) P A 3 3 n  C100 2695 n  C100 156200 Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu. n A Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n  C3 220. 3.4.5 60 3 . 12 P A 3 n  C12 220 11 Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3. 5 5 10 n A C .C Giải: Số phần tử của không gian mẫu là n  C và 10 20 . 30 P A 3 n  C12 Ví dụ 6. Cho tập F 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra n A 4 là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 (HDG : P A ) n  45 Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7. Tập A bao gồm các pần tử: 0,2, 0,4, 0,6, 2,4. Khi đó. 4. Nhị thức Newton n + Với hai số thực a và b, ta có n 0 n 1 n- 1 n- 1 n- 1 n n k n- k k (a + b) = Cn a + Cn a b + + Cn ab + Cn b = å Cn a b . k= 0 k n k k + Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là Cn a b .
3. 4 24 4 33 A. . B. . C. .D. . 455 455 165 91 Câu 18. Hệ số của x5 trong khai triển nhị thức x 2x 1 6 3x 1 8 bằng A. 13368 . B. 13368. C. 13848 . D. 13848. Câu 19. Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1728 1079 23 1637 A. .B. .C. .D. . 4913 4913 68 4913 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101) Giải: Không gian mẫu có số phần tử là 173 4913 . Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau: + Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập 3;6;9;12;15 . + Số chia cho 3 dư 1: có 6 số thuộc tập 1;4;7;10;13;16. + Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập 2;5;8;11;14;17 . Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;17 thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau: TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 53 125 cách; TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 63 216 cách. TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 63 216 cách. TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 có 5.6.6.3! 1080 cách. 125 216 216 1080 1637 Vậy xác suất cần tìm là . Chọn D. 4913 4913 1 2 Câu 20. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn Cn 55 , số hạng không chứa x trong khai triển của thức n 3 2 x 2 bằng x A. 322560 . B. 3360 . C. 80640 . D. 13440. Giải: Điều kiện n 2 và n Z . 10 1 2 2 Ta có C C 55 n 10 . Với n 10 ta có khai triển 3 . n n x 2 x 2 k Số hạng tổng quát của khai triển k 3 10 k k k 30 5k , với 0 k 10 . C10 x . 2 C10 2 x x Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 5k 0 k 6. 6 6 Vậy số hạng không chứa x là C10 2 13440 . Chọn D. Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Khối đa diện 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước) 2. Thể tích của khối lập phương cạnh a : V = a3 3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao) 1 4. Thể tích của khối chóp: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao) 3 V SA' SB' SC ' Chú ý: Tỉ số thể tích S.A'B'C ' . . VS.ABC SA SB SC M 5. Kiến thức liên quan * Tỉ số lượng giác của góc nhọn: MH OH MH OH • sin • cos • tan • cot OM OM OH MH α O H * Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A
4. ▪ Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần tìm chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó. ▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. ▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu 1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l 2 r 2 h2. + Diện tích xung quanh: Sxq rl ; 2 + Diện tích toàn phần: Stp rl r 1 + Thể tích: V r 2h 3 2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l h. + Diện tích xung quanh: Sxq 2 rl ; 2 + Diện tích toàn phần: Stp 2 rl 2 r + Thể tích: V r 2h 3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R. 2 + Diện tích mặt cầu: SMC 4 R 4 3 + Thể tích khối cầu: V R . KC 3 Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Giải Gọi H là tâm của hình vuông. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SH  ABCD S 2 2 Vì ABCD là hình vuông nên SABCD AB a (đvdt) Ta có SA2 SC 2 AB2 BC 2 AC 2 2a2 AC a 2 SAC vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên SH B 2 2 C H 1 1 a 2 2 A V SH.S . .a2 a3 (đvtt) D S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc 600 . Giải S Gọi H là tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC S.ABC là hình chóp đều nên SH  ABC ABC là tam giác đều nên AM  BC 3 Trong tam giác vuông ACM AM a A 2 600 B H 1 3 2 M SABC AM.BC a (đvdt) 2 4 C Ta lại có AM  BC,SH  BC nên SM  BC ·(SBC),(ABC) ·SM , AM S· MA 600 . 1 3 Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HM AM a 3 6 SH a Trong tam giác vuông SHM , tan S·MH SH HM.tan 600 HM 2
5. Ta có: AB  AC ; AB  AA AB  (AA C C) nên AC' là hình chiếu của BC' trên AA'C 'C . Vậy góc AB · 0 giữa BC’ và mặt phẳng AA'C 'C là góc AC 'B 30 AC o 3a tan30 A' C' 2 2 2 AC ' A' vuông tại A’ AA' AC ' A'C ' 8a 2 2a B' AB 300 ABC vuông tại A, tan ·ACB 3 AB a 3 AC 1 a2 3 S AB.AC (đvdt) a ABC A 2 2 600 C 3 Vậy VABC.A' B 'C ' AA'.SABC a 6 (đvtt) B Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C 'D'có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và B· AD 600 , biết AB' hợp với đáy ABCD một góc 300 .Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C 'D'. Giải B' C' Vì ABD đều cạnh a nên: a2 3 a2 3 A' D' S S 2S ABD 4 ABCD ABD 2 ABB vuông tại B BB AB tan30o a 3 B 3 C 3a 300 0 Vậy VABCD.A' B 'C ' D ' SABCD .BB (đvtt) 60 2 A D Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. Giải A' B' Ta có C H  (ABC) CH là hình chiếu của CC' trên (ABC) 0 Nên góc giữa CC’ và mp ABC bằng 60 a 3 C' 0 3a C H CC .sin 60 600 A 2 B 2 3 a 3 3a 3 S . Vậy V S .C H C ABC 4 ABC 8 Ví dụ 6. Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón tròn xoay. a)Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay đó? b)Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên? Giải a)Ta có Sxq rl * Bán kính hình nón : r=IM=a 0 IM IM a 2 * Xét tam giác OIM vuông tại I ta có sin 30 OM 2a .Vậy Sxq .a.2a 2 a . OM sin 300 1/ 2 1 1 b) Tacó V Bh r 2h 2 3 * Bán kính hình nón : r = IM = a 1 a3 3 * h=OM= a 3. Vậy V .a2.a 3 . 3 3 Ví dụ 7. Trong không gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.Khi quay hình vuông đó quanh trục IH tạo thành hình trụ tròn xoay. a)Tính diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay đó? b)Tính thể tích khối trụ tròn xoay nói trên? Hướng dẫn giải.