Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Khảo sát về đồ thị hàm số (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Khảo sát về đồ thị hàm số (Có đáp án)

1. Buổi 1. CHỦ ĐỀ 1+2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Tính đơn điệu của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. • Hàm số y f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . • Hàm số y f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2 K, x1 x2 f x1 f x2 . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng K . • Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x 0,x K . • Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x 0,x K . 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . • Nếu f x 0,x K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm f x 0,x K trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn a;b .  Nếu f x 0,x K ( hoặc f x 0,x K ) và f x 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 4. Kĩ năng cơ bản 4.1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x) Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 4.2 . Xét tính đơn điệu của hàm số y f (x) trên tập xác định Bước 1. Tìm tập xác định D. Bước 2. Tính đạo hàm y f (x) . Bước 3. Tìm nghiệm của f (x) hoặc những giá trị x làm cho f (x) không xác định. Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận. 4.3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng a; b cho trước. Cho hàm số y f (x,m) có tập xác định D, khoảng (a;b)  D :  Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0,x (a;b) 1
2.  Nếu hàm số y f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ ( fCT ) , còn điểm M (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Kĩ năng cơ bản 3.1.Quy tắc tìm cực trị của hàm số • Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f x . Tìm các điểm tại đó f x bằng 0 hoặc f x không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. • Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f x . Giải phương trình f x và ký hiệu xi i 1,2,3, là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f x và f xi . Bước 4. Dựa vào dấu của f xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi . 3.2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 Ta có y 3ax2 2bx c • Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b2 3ac 0 2c 2b2 bc . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : y x d . 3 9a 9a • Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 3 2 2 x b x i ax bx cx d 3ax 2bx c  Ai B y Ax B 3 9a y .y Hoặc sử dụng công thức y . 18a • Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là: 4e 16e3 b2 3ac AB với e a 9a 3.3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y ax4 bx2 c a 0 có đồ thị là C . x 0 y 4ax3 2bx; y 0 b x2 2a b C có ba điểm cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 . 2a b b 2 Khi đó ba điểm cực trị là: A 0;c , B ; , C ; với b 4ac 2a 4a 2a 4a 3
3. 0 m 3 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) 0 x1 x2 P 0 m 0 (VN) S 0 2 0 Vậy: m 3. Bài 4: Cho hàm số y 2x3 3mx2 1 (1). Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 x1 1. HD giải. y' 6x2 6mx , y' 0 x 0  x m . + Nếu m = 0 y 0,x ¡ hàm số nghịch biến trên ¡ m = 0 không thoả YCBT. + Nếu m 0 , y 0,x (0;m) khi m 0 hoặc y 0,x (m;0) khi m 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x1; x2 ) với x2 x1 1. (x1; x2 ) (0;m) m 0 1 và x2 x1 1 m 1 (x1; x2 ) (m;0) 0 m 1 B. Cực trị của hàm số Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 1 1 1) y = x3 4x 2) y = x4 4x2 1 3 4 x2 3x 2x 7 3) y = 4) y = x 1 4x 3 x2 2x 2 x 3 5) y 6) y x 1 x 4 Bài 2: Tìm m để hàm số: x 2 mx 1 1) y = đạt cực đại tại x = 2 x m x 2 mx m 1 2) y = đạt cực tiểu tại x = 1 x 1 x2 2x m 3) y đạt cực tiểu tại x = 2 x 1 4) y mx3 3x2 5x m đạt cực tiểu tại x = 2 1 3 2 5) y mx (m 2)x (2 m)x 2 đạt cực đại tại x = –1 3 Bài 3: Cho hàm số y 2x2 3(m 1)x2 6mx m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2 . HD giải. Ta có: y 6(x 1)(x m) . Hàm số có CĐ, CT y 0 có 2 nghiệm phân biệt m 1. Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 3m 1),B(m;3m2 ) . AB 2 (m 1)2 (3m2 m3 3m 1) 2 m 0; m 2 (thoả điều kiện). Bài 4: Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 9x m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1 x2 2 . HD giải. Ta có y' 3x2 6(m 1)x 9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 PT y' 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 5
4. C. ; 1 và 1; .D. 4; 1 và 1;2 . 3 Câu 7. Hàm số y x5 3x4 4x3 2 đồng biến trên khoảng nào? 5 A. ( ;0) .B. ¡ .C. (0;2) .D. (2; ) . Câu 8. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d . Hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi nào? a b 0,c 0 a b 0,c 0 A. . B. . 2 2 a 0;b 3ac 0 a 0;b 3ac 0 a b 0,c 0 a b c 0 C. . D. . 2 2 a 0;b 3ac 0 a 0;b 3ac 0 Câu 9. Cho hàm số y x3 3x2 9x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 . B. Hàm số đồng biến trên ¡ . C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Câu 10. Tìm điều kiện để hàm số y ax4 bx2 c (a 0) có 3 điểm cực trị . A. B.ab 0. C.a bD. 0. b 0. c 0. Câu 11. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên: x 2 4 y 0 0 3 y 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại . x 3 C. Hàm số đạt cực đại tại x 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . Câu 12. Cho hàm số y x3 3x2 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại x 0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và cực tiểu tại x 0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2 . Câu 13. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba điểm cực trị.B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. C. Hàm số không có cực trị.D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. Câu 14. Biết đồ thị hàm số y x3 3x 1 có hai điểm cực trị A, B . Viết phương trình đường thẳng AB . A. B.y x 2. y 2x 1. C. D.y 2x 1. y x 2. 7
5. Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số đểm đồ thị hàm số: y x4 2mx2 m có 1 ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. m 1 m 1 1 5 A.B. 1 5 . C. 1 5 . D.m . m 1. m m 2 2 2 IV. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C D D B A A D A B A A D B B B D 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C C A B Buổi 2. Chủ đề 3+4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D f (x) M ,x D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) M Kí hiệu: M max f (x) hoặc M max f (x) . x D D f (x) m,x D • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) m Kí hiệu: m min f (x) hoặc m min f (x) x D D 2. Kĩ năng cơ bản Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, ) 2.1 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên ✓ Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . ✓ Bước 2. Tìm các nghiệm của f (x) và các điểm f (x) trên K. ✓ Bước 3. Lập bảng biến thiên của f (x) trên K. ✓ Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f (x),max f (x) K K 2.2 Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên ❖ Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a;b] ✓ Bước 1. Tính đạo hàm f (x) . 9
6. lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) x x0 x x0 lim x x0 g(x) 0 Tùy ý 0 L 0 + L 0 0 + (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x x0 ) Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x0 , x x0 , x và x . +) Nếu x x 0 x2 x x +) Nếu x x 0 x2 x x II. LUYỆN TẬP A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 3 2 é ù a/ y = f (x) = 3x - x - 7x + 1 trên đoạn ëê0;2ûú. 3 2 é ù b/ y = f (x) = x - 8x + 16x - 9 trên đoạn ëê1;3ûú. 4 2 é ù c/ y = f (x) = - 2x + 4x + 3trên đoạn ëê0;2ûú. 3 2 é ù d/ y = f (x) = 2x - 6x + 1trên đoạn ëê- 1;1ûú. 3 2 é ù HD giải. a/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = 3x - x - 7x + 1 trên ëê0;2ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn ëê0;2ûú. é é ù êx = 1 Î ëê0;2ûú (N )  Ta có: y ' = f ' x = 9x 2 - 2x - 7 Þ y ' = 0 Û 9x 2 - 2x - 7 = 0 Û ê ( ) ê 7 é ù x = - Ï ê0;2ú (L) ëê 9 ë û  Tính f (0) = 1; f (2) = - 9; f (1) = - 6 ïì max f (x) = 1 khi x = 0 ï [0;2] Þ íï ï min f (x) = - 9 khi x = 2 îï [0;2] 3 2 é ù b/ Tìm max – min của hàm số: y = f (x) = x - 8x + 16x - 9 trên ëê1;3ûú. é ù  Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn ëê1;3ûú.  Ta có: é é ù êx = 4 Ï ëê1;3ûú (L) y ' = f ' x = 3x 2 - 16x + 16 Þ y ' = 0 Û 3x 2 - 16x + 16 = 0 Û ê ( ) ê 4 é ù x = Î ê1;3ú (N ) ëê 3 ë û  Tính: 11