Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân (Có đáp án)

1. Loại . HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) nếu F '(x)= f (x) với mọi x Î K . Nhận xét. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x)+ C, (C Î ¡ ) cũng là nguyên hàm của f (x). Ký hiệu: ò f (x)dx = F (x)+ C . 2. Tính chất / . (ò f (x)dx) = f (x). . ò a. f (x)dx = a.ò f (x)dx (a Î ¡ , a ¹ 0). é ù . ò ëf (x)± g(x)ûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx . 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm ò kdx = kx + C , k là hằng số a + 1 a + 1 a x a 1 (ax + b) ò x dx = + C (a ¹ - 1) (ax + b) dx = . + C a + 1 ò a a + 1 1 1 1 dx = ln x + C dx = ln ax + b + C ò x ò ax + b a x x 1 ò e dx = e + C e ax + b dx = e ax + b + C ò a a x amx + n a x dx = + C amx + ndx = + C ò ln a ò m.ln a 1 ò cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b)+ C ò a 1 ò sin xdx = - cos x + C sin(ax + b)dx = - cos(ax + b)+ C ò a 1 1 1 dx = tan x + C dx = tan(ax + b)+ C ò cos2 x ò cos2 (ax + b) a 1 1 1 dx = - cot x + C dx = - cot(ax + b)+ C ò sin2 x ò sin2 (ax + b) a Câu 1. Hàm số f (x) có nguyên hàm trên K nếu: A. f (x) xác định trên K .B. f (x) có giá trị lớn nhất trên K . C. f (x) có giá trị nhỏ nhất trên K .D. f (x) liên tục trên K . Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b) và C là hằng số thì ò f (x)dx = F (x)+ C . B. Mọi hàm số liên tục trên (a;b) đều có nguyên hàm trên (a;b). C. F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b)Û F / (x)= f (x), " x Î (a;b). / D. (ò f (x)dx) = f (x). Câu 3. Xét hai khẳng định sau: (I) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có đạo hàm trên đoạn đó. (II) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Trong hai khẳng định trên:
2. 1 Câu 13. Hàm số f (x)= có nguyên hàm trên: cos x æ ö é ù ç p p÷ p p A. (0;p).B. ç- ; ÷.C. (p;2p).D. ê- ; ú. èç 2 2ø ëê 2 2 ûú Câu 14. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2sin x A. 2sin xdx 2cos x C . B. 2sin xdx sin2 x C C. 2sin xdx sin 2x C D. 2sin xdx 2cos x C 3 (x - 1) Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y = f (x)= là kết quả nào sau đây? 2x 2 4 x 2 3x 1 3(x - 1) A. F (x)= - + ln x + .B. F (x)= . 4 2 2x 4x 3 x 2 3x 1 1 C. F (x)= - - - .D. Một kết quả khác. 4 2 x 2 2x 3 Câu 16. Tính ò e x .e x + 1dx ta được kết quả nào sau đây? 1 A. e x .e x+1 + C .B. e 2x+1 + C .C. 2e 2x+1 + C .D. Một kết quả khác. 2 4 Câu 17. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)= (x - 3) ? 5 5 (x - 3) (x - 3) A. F (x)= + x .B. F (x)= . 5 5 5 5 (x - 3) (x - 3) C. F (x)= + 2017 .D. F (x)= - 1 . 5 5 3 Câu 18. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) ex 2x thỏa mãn F(0) . 2 Tìm F(x) . 3 1 A. F(x) ex x2 B. F(x) 2ex x2 2 2 5 1 C. F(x) ex x2 D. F(x) ex x2 2 2 3 Câu 19. Hàm số F (x)= e x là một nguyên hàm của hàm số: x3 3 3 e 3 A. f (x)= e x .B. f (x)= 3x 2.e x .C. f (x)= .D. f (x)= x 3.e x - 1 . 3x 2 ln 2 Câu 20. Cho I = 2 x dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai? ò x A. I = 2 x + C .B. I = 2 x + 1 + C .C. I = 2(2 x + 1)+ C .D. I = 2(2 x - 1)+ C . 1 ln 2 Câu 21. Cho I = 2 2x . dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai? ò x 2 1 1 æ ö + 1 ç 2x ÷ 2x A. I = 2ç2 + 2÷+ C .B. I = 2 + C . èç ø÷ 1 æ 1 ö 2x ç 2x ÷ C. I = 2 + C .D. I = 2ç2 - 2÷+ C . èç ø÷ Câu 22. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) 3 5sin x và f (0) 10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. f (x) 3x 5cos x 5 B. f (x) 3x 5cos x 2 C. f (x) 3x 5cos x 2 D. f (x) 3x 5 cos x 15 x 3 Câu 23. Nếu f (x)dx = + e x + C thì f (x) bằng: ò 3 x 4 x 4 A. f (x)= + e x .B. f (x)= 3x 2 + e x .C. f (x)= + e x .D. f (x)= x 2 + e x . 3 12 Câu 24. Nếu ò f (x)dx = sin 2x cos x thì f (x) là:
3. A. ln 2. B. ln 3. C. ln 2 + 1. D. ln 3+ 1. Câu 37. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin x cos x thỏa mãn F 2 . 2 A. F(x) cos x sin x 3 B. F(x) cos x sin x 3 C. F(x) cos x sin x 1 D. F(x) cos x sin x 1 4m 2 æpö p Câu 38. Cho hàm số f (x)= + sin x . Tìm m để nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F (0)= 1 và F ç ÷= . p èç4ø÷ 8 4 3 3 4 A. m = - .B. m = .C. m = - .D. m = . 3 4 4 3 1 Câu 39. Cho hàm số y = f (x)= . Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) và đồ thị y = F (x) đi qua điểm sin2 x æp ö M ç ;0÷ thì F (x) là: èç6 ø÷ 3 3 A. F (x)= - cot x .B. F (x)= - + cot x. 3 3 C. F (x)= - 3 + cot x. D. F (x)= 3 - cot x. Câu 40. Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x - 1. Đồ thị của hàm số F (x) và f (x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: æ5 ö æ5 ö æ5 ö A. (0;- 1).B. ç ;9÷.C. (0;- 1) và ç ;9÷.D. ç ;8÷. èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Phương pháp đổi biến số é ù é ù Nếu ò f (x)dx = F (x)+ C thì ò f ëu(x)û.u '(x)dx = F ëu(x)û+ C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ò f (x)dx , trong đó ta có thể phân tích f (x)= g(u(x))u '(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u(x), suy ra dt = u '(x)dx . é ù Khi đó ta được nguyên hàm: ò g(t)dt = G(t)+ C = G ëu(x)û+ C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x). Câu 34. Câu nào sau đây sai? A. Nếu F '(t)= f (t) thì F / (u(x))= f (u(x)). B. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u(x))u '(x)dx = F (u(x))+ C . C. Nếu G (t) là một nguyên hàm của hàm số g (t) thì G (u(x)) là một nguyên hàm của hàm số g (u(x)).u/ (x). D. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u)du = F (u)+ C với u = u(x). Câu 35. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu ò f (t)dt = F (t)+ C thì ò f (u(x)).u/ (x)dx = F (u(x))+ C . é ù B. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì ò ëF (x)- G(x)ûdx có dạng h(x)= Cx + D (C, D là các hằng số và C ¹ 0 ). C. F (x)= 7 + sin2 x là một nguyên hàm của f (x)= sin 2x . u/ (x) D. dx = u(x)+ C . ò u(x) Câu 41. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)= 2x - 1. 2 1 A. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C. B. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C. ò 3 ò 3 1 1 C. f (x)dx = - 2x - 1 + C. D. f (x)dx = 2x - 1 + C. ò 3 ò 2 e ln x Câu 42. Để tính dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt: ò x
4. gặp các dạng sau ésin x ù ● Dạng 1. I = P x ê údx , trong đó P x là đa thức. ò ( )ê ú ( ) ëcos xû ì ï u = P (x) ï Với dạng này, ta đặt í ésin x ù . ï dv = ê údx ï ê ú îï ëcos xû ● Dạng 2. I = ò P (x)e ax + b dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = P (x) Với dạng này, ta đặt í . ï ax + b îï dv = e dx ● Dạng 3. I = ò P (x)ln(mx + n)dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = ln(mx + n) Với dạng này, ta đặt í . ï îï dv = P (x)dx ésin x ù ● Dạng 4. I = ê úe x dx . ò ê ú ëcos xû ïì ésin x ù ï u = ê ú Với dạng này, ta đặt íï êcos xú. ï ë û ï x îï dv = e dx Câu 49. Để tính ò x ln(2 + x)dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: ïì u = x ïì u = ln(2 + x) A. íï . B. íï . ï ï îï dv = ln(2 + x)dx îï dv = xdx ïì u = x ln(2 + x) ïì u = ln(2 + x) C. íï . D. íï . ï ï îï dv = dx îï dv = dx Câu 50. Để tính ò x 2 cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: ïì u = x ïì u = x 2 ïì u = cos x ïì u = x 2 cos x A. ï B. ï C. ï D. ï í . í . í 2 . í . îï dv = x cos xdx îï dv = cos xdx îï dv = x dx îï dv = dx Câu 51. Kết quả của I = ò xe x dx là: x 2 A. I = e x + xe x + C .B. I = e x + C . 2 x 2 C. I = xe x - e x + C .D. I = e x + e x + C . 2 Câu 52. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) (x 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . 2 x A. f (x)e2x dx (4 2x)ex C B. f (x)e2x dx ex C 2 C. f (x)e2x dx (2 x)ex C D. f (x)e2x dx (x 2)ex C Câu 53. Hàm số f (x)= (x - 1)e x có một nguyên hàm F (x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0 ? A. F (x)= (x - 1)e x .B. F (x)= (x - 2)e x . C. F (x)= (x + 1)e x + 1 .D. F (x)= (x - 2)e x + 3 . Câu 54. Một nguyên hàm của f (x)= x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1? 1 1 1 1 A. F (x)= x 2 ln x - (x 2 + 1).B. F (x)= x 2 ln x + x + 1 . 2 4 2 4 1 1 C. F (x)= x ln x + (x 2 + 1).D. Một kết quả khác. 2 2 1 f (x) Câu 55. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm 2x2 x số f (x)ln x
5. . Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là b b b é ù ò ëf (x)± g(x)ûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx . a a a b c b . Tách đôi tích phân, tức là ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx . a a c b Chú ý: Tích phân ò f (x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x , tức là a b b ò f (x)dx = ò f (t)dt . a a Câu 61. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: b a b A. ò f (x)dx = - ò f (x)dx .B. ò k.dx = k(b - a), " k Î ¡ . a b a b c b C. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx với c Î [a;b]. a a c b a D. ò f (x)dx = ò f (x)dx . a b Câu 62. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó: a a b b b (I) ò f (x)dx = 0 . (II) ò f (x)dx = ò f (x)dx . (II) ò k. f (x)dx = kò f (x)dx . a b a a a Trong ba công thức trên: A. Chỉ có (I) sai.B. Chỉ có (II) sai. C. Chỉ có (I) và (II) sai.D. Cả ba đều đúng. Câu 63. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 b b b A. d = 1.B. . d = d . d . ò x ò f1 (x) f 2 (x) x ò f1 (x) x ò f 2 (x) x - 1 a a a b C. Nếu f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì ò f (x)dx ³ 0 . a a D. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f (x) là hàm số lẻ. 0 Câu 64. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b c b A. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx với mọi a, b, c thuộc tập xác định của f (x). a a c b B. Nếu ò f (x)dx ³ 0 thì f (x)³ 0," x Î [a;b]. a dx C. ò = 2 1+ x 2 + C . 1+ x 2 D. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x). x Câu 65. Đặt F (x)= ò 1+ t 2 dt . Đạo hàm F / (x) là hàm số nào dưới đây? 1 x A. F / (x)= .B. F / (x)= 1+ x 2 . 1+ x 2 1 C. F / (x)= .D. F / (x)= (x 2 + 1) 1+ x 2 . 1+ x 2 x Câu 66. Cho F (x)= ò(t 2 + t)dt . Giá trị nhỏ nhất của F (x) trên đoạn [- 1;1] là: 1 1 5 5 A. . B. 2. C. - . D. . 6 6 6 x t - 3 Câu 67. Cho F (x)= dt . Xét các mệnh đề: ò 2 + 0 t 1