205 Câu trắc nghiệm Toán Lớp 12 (Vận dụng cao) - Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: 205 Câu trắc nghiệm Toán Lớp 12 (Vận dụng cao) - Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz (Có hướng dẫn giải)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B,C . Tính thể tích khối chóp O.ABC . 1372 686 524 343 A. . B. . C. . D. . 9 9 3 9 Lời giải Chọn B. Gọi H là hình chiếu của O lên mp P Tam giác OHM có OH OM , H . Khi đó d O, P OH lớn nhất khi M  H , hay OM  P .  Mp P đi qua M và nhận OM 1;2;3 làm véc tơ pháp tuyến, phương trình P : x 2y 3z 14 0 . 14 P cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại A 14;0;0 , B 0;7;0 , C 0;0; 3
2. Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi R £ IA £ R 2 Û 3 £ a2 + b2 + 2 £ 6 Û 1 £ a2 + b2 £ 4 . Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng (Oxy) , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O (0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2 . Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng: x 3 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 z d1 : , d2 : , d3 : , d4 : . 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là: A. 0 . B. 2 . C. Vô Số D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. Dễ thấy d1 / /d2 do đó có một mặt phẳng P duy nhất chứa d1;d2 P : x y x 1 0 Mặt khác ta có d3 chéo d4 lần lượt cắt P tại A 1; 1;1 ; B 0;1;0 Do đó tồn tại một đường thẳng duy nhất qua A; B thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S :x2 y2 z2 2x 6y 4z 2 0 , mặt phẳng :x 4y z 11 0 . Gọi P là mặt phẳng vuông góc với , P song song với giá của v 1;6;2 và P tiếp xúc với S . Lập phương trình mặt phẳng P . A. 2x y 2z 2 0 và x 2y z 21 0. B. x 2y 2z 3 0 và x 2y z 21 0. C. 2x y 2z 3 0 và 2x y 2z 21 0 . D. 2x y 2z 5 0 và 2x y 2z 2 0 .
3. Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi d IH tức IH vuông góc với (P). x 1 t Phương trình đường thẳng AB : y t (t ¡ ) z 2  Gọi H (1 t;t;2) . IH ( t;t 2; 1) . IH  AB t (t 2) 0 t 1. Suy ra H (0;1;2) .  Mặt phẳng (P) nhận IH làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình (x 1) y (z 2) 0 x y z 3 0. Vậy a b c 3 . Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho các điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3 , D 2; 2;0 . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong5 điểm O , A , B , C , D ? A. 7 . B. 5 . C. 6 . D. 10. Lờigiải Chọn B x y z Mặt phẳng ABC có phương trình là 1 6x 3y 2z 6 0 , do đó D ABC . 1 2 3 Lại có A là trung điểm BD . Ta có Oxy chứa các điểm O , A , B , D . Oyz chứa các điểm O , B , C ; Oxz chứa các điểm O , A , C ; ABC chứa các điểm A , B , C , D . OCD chứa các điểm O , C , D . Vậy có5 mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán. Câu 9: Xét tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC) . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M (3 cot2 ).(3 cot2  ).(3 cot2  ) là A. Số khác. B. 48 3 . C. 48 . D. 125.
4. Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho các mặt phẳng P : x y 2z 1 0, Q : 2x y z 1 0 . Gọi S là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và S cắt mặt phẳng Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu S thỏa mãn yêu cầu. 3 3 2 A. r 3 . B. r 2 . C. r . D. r . 2 2 Lời giải Chọn D. * Gọi I là tâm của mặt cầu S . Do I Ox nên ta có I a;0;0 . * Do S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có: 2 2 2 a 1 a 1 4 R2 d I; P 4 R2 R2 4 1 6 6 * Do S cắt mặt phẳng Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có: 2 2 2a 1 r 2 R2 d I; P r 2 R2 2 6 * Từ 1 và 2 ta có: a 1 2 2a 1 2 r 2 4 3a2 6a 24 6r 2 0 a2 2a 8 2r 2 0 3 6 6 * Để có duy nhất một mặt cầu S thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình 3 có duy nhất một nghiệm a với r 0 nên điều kiện là: 3 2 9 2r 2 0 r . 2 Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho các mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0, Q : 2x y 2z 1 0 . Gọi S là mặt cầu có tâm thuộc trục tung, đồng thời S cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và S cắt mặt phẳng Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu S thỏa mãn yêu cầu. 11 11 3 A. r 3 . B. r 11 .C. r .D. r . 3 3
5. Cách 2: Mặt cầu S có tâm I 2;3;0 , R 13 m , m 13 . Đường thẳng qua M 0 2;0; 3 , có VTCP u 2;1;2  IM ;u 0 d d I; 3 u AB2 Yêu cầu đề bài tương đương R2 d 2 13 m 16 9 m 12 n . 4 Câu 14: Trong không gian tọa độ O xyz cho các điểm A 1;5;0 ,B 3;3;6 và đường thẳng x 1 y 1 z : . Gọi M a;b;c sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 1 2 tổng T a b c ? A. T 2. B. T 3. C. T 4. D. T 5. Lời giải Chọn B Ta có M a;b;c M 2t 1; t 1;2t . Từ đó ta có: C MA MB AB 9t 2 20 9t 2 36t 56 2 11 . 9 9t 18 C t 9t 2 20 9t 2 36t 56 2 11 C t 0 t 1. 9t 2 20 9t 2 36t 56 Lập BBT ta có: min C t C 1 t 1 M 1;0;2 . Đề xuất: Đánh giá f t 9t 2 20 9t 2 36t 56 như sau f t 9t 2 20 9t 2 36t 56 9t 2 20 9 t 2 2 20 Trong hệ trục Oxy , chọn u 3t;2 5 , v 3 t 2 ;2 5 , u v 6;4 5 . Khi đó f t u v u v 36 20 2 14 . 3t 2 5 Đẳng thức xảy ra khi và chi khi u , v cùng hướng. t 1 M 1;0;2 3 t 2 2 5 Câu 15: Trong không gian Oxyz , biết mặt phẳng P đi qua hai điểm A(1;1;1) , B(0;2;2) đồng thời P cắt các trục tọa độ Ox,Oy theo thứ tự tại hai điểm M , N ( M , N đều không trùng với
6. Vậy M(- 2; 4;0) thỏa ycbt. Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ , cho các điểm S 0;0;1 , P 1;1;1 và M m;0;0 , N 0;n;0 thay đổi sao cho m n 1 và m 0,n 0 . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua P và tiếp xúc với mặt phẳng SMN . Tính bán kính của mặt cầu đó. A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải ChọnC. x y z Phương trình SMN : 1 nx my mmz mn 0 . m n 1 Do m n 1 nên suy ra nx 1 n y n 1 n z n 1 n 0 Gọi I a;b;c và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu S cố định đi qua P và tiếp xúc với mặt phẳng SMN . Khi đó, ta có IP 1 a 2 1 b 2 1 c 2 R2 * na 1 n b nc 1 n n 1 n và d I; SMN R R . n2 m2 n2m2 na 1 n b nc 1 n n 1 n R 1 1 n n 1 c n2 a b c 1 n b R 1 n n2 1 c n2 a b c 1 n b R 1 n n2 1 2 2 1 c n a b c 1 n b R 1 n n 2 1 c R c 1 R 1 a b c 1 R b R . b R a R Khi đó * 2 1 R 2 R2 R2 R 1 (2) làm tương tự. Vậy R 1. Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P :3mx 5 1 m2 y 4mz 20 0 . Biết rằng khi m thay đổi trên đoạn  1;1 thì mặt phẳng P luôn tiếp xúc với một mặt cầu S cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó. A. R 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .
7. Do đó I P : x y z 2 0 cố định. 3 Vậy d M ; P . 3 Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu 2 2 2 S : x 1 y 2 z 3 25 . Mặt phẳng P : ax by cz 2 0 đi qua A, B và cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 4 . B. T 2 . C. T 3. D. T 5 . Lời giải: Chọn C  S có tâm I 1;2;3 ; R 5; AB 3;3; 6 . Vì B nằm trong mặt cầu nên gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AB thì K cũng nằm trong mặt cầu. Do đó P luôn cắt S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính r . x t  AB có phương trình: y 1 t nên K t;1 t;2t IK t 1; t 1;2t 3 . z 2t   Vì IK  AB suy ra IK.AB 0 t 1. Do đó K 1;0;2 . Ta lại có: r 2 25 IH 2 nên để r nhỏ nhất thì IH lớn nhất, mà IH IK nên mp P cần tìm  nhận IK 0; 2; 1 làm VTPT. Vì IK  AB nên AB  P . Vậy phương trình P : 2y z 2 0 T 3. Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 và hai điểm A 1;0;2 , B 1;2;2 . Mặt phẳng P : ax by cz 3 0 đi qua A, B và cắt S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T a b c . A. T 3. B. T 3. C. T 0 . D. T 2 .
8. Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 bán kính R 5.  2 2 2 Mặt phẳng P có vtpt nP a,b,c , a b c 0 . Do B 0;1;0 P :b 2 0 b 2 . x t  Ta có: AB 3;3; 6 3 1; 1;2 , phương trình đường thẳng AB: y 1 t,t ¡ . z 2t Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu của I trên AB , H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng P .  Ta có: K AB K t;1 t;2t IK t 1; t 1;2t 3    IK  AB AB.IK 0 t 1 IK 0; 2; 1 r R2 d 2 I, P 25 d 2 I, P 25 IH 2 Ta có: r đạt min thì IH đạt max.   Mà IH IK IHmax H  K P  IK nP và IK cùng phương a 0 a 0 a 0   k 1 nP kIK b 2k 2 b 2 b 2 c k c 1 c 1
9. Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0) , B(1;2;1) và C(2; 1;2) . Biết mặt phẳng qua B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b . )Tổng a b là A. . 2 B. 2 . C. .1 D. 1 Lời giải Chọn B Phân tích: Nội dung chính của câu hỏi này là tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện. Phương trình OAB là: y 2z 0 . Phương trình OAC là: 2y z 0 . Phương trình OBC là: x z 0 . Phương trình ABC là: 5x 3y 4z 15 0 . Gọi I a ';b';c ' là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện .OABC Do đó: I nằm cùng phía với A đối với OBC suy ra: a ' c ' 0 . I nằm cùng phía với B đối với OAC suy ra: 2b' c' 0 . I nằm cùng phía với C đối với OAB suy ra: b' 2c' 0 . I nằm cùng phía với O đối với ABC suy ra: 5a' 3b' 4c' 15 0 . Suy ra: b' 2c ' 2b' c ' 5 5 b' 2c ' a ' c ' d I, OAB d I, OAC 5 2 d I, OAB d I, OBC b' 2c ' 5a ' 3b' 4c ' 15 d I, OAB d I, ABC 5 5 2 b' 2c ' 2b' c ' b' 2c ' 2b' c ' 2 b' 2c ' 5 a ' c ' 2 b' 2c ' 5 a ' c ' 10 b' 2c ' 5a ' 3b' 4c ' 15 10 b' 2c ' 5a ' 3b' 4c ' 15