100 Câu trắc nghiệm Toán Lớp 12 (Vận dụng cao) - Số phức (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: 100 Câu trắc nghiệm Toán Lớp 12 (Vận dụng cao) - Số phức (Có hướng dẫn giải)

1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO Câu 1. Gọi C là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z x 1 yi , (x, y ¡ ) thỏa mãn z 1và N là điểm biểu diễn số phức z0 1 i . Tìm điểm M thuộc C sao cho MN có độ dài lớn nhất. 1 3 A. M 1;1 . B. M ; . C M 1;0 . D. M 0;0 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 Ta có: M x; y nằm trên đường tròn C : x 1 y2 1. Tâm I 1;0 Do N 1; 1 C nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I 1;0 là trung điểm của MN . Vậy M 1;1 Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp 10, khi cho một đường tròn C và một điểm N . Tìm điểm M trên C sao cho MN đạt min, max. Câu 2. Gọi C là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z x 1 yi , x, y ¡ thỏa mãn z 1và N là điểm biểu diễn số phức z0 5 3i . M là một điểm thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài MN lớn nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. 2 Ta có: M x; y nằm trên đường tròn C : x 1 y2 1. Tâm I 1;0 Do N 5;3 nằm ngoài C nên MN có độ dài lớn nhất khi MN NI R 5 1 6. Câu 3. Gọi C là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z x 1 yi , x, y ¡ thỏa mãn z 1và N là điểm biểu diễn số phức z0 5 3i . M là một điểm thuộc C sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 4 . Hướng dẫn giải
2. 2 Câu 7. Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z 16z 17 0. Trên mặt phẳng 3 tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w 1 2i z i ? 1 2 A. M 2;1 . B. M 3; 2 . C. M 3;2 . D. M 2;1 . Câu 8. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 1 i 2 và z2 iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ? A. m 2 1. B. m 2 2. C. m 2. D. m 2 2 2. Lời giải Chọn D. Do z1 1 i 2 nên điểm biểu diễn M1 của z1 thuộc đường tròn tâm I 1;1 bán kính R 2 . Do z2 iz1 nên điểm M 2 (điểm biểu diễn của z2 ) là ảnh của M1 qua phép quay tâm O , góc 0 quay 90 . Suy ra z1 z2 M1M 2 2OM1 ngắn nhất khi OM1 ngắn nhất. Ta có: minOM1 R OI 2 2 . Vậy: m 2 2 2 2 2 2 . Đề xuất Do z1 1 i 2 nên điểm biểu diễn M1 của z1 thuộc đường tròn tâm I 1;1 bán kính R 2 . z1 z2 z1 iz1 1 i z1 2 z1 2OM 2 R OI 2 2 2 2 2 2 . (Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá) Câu 9. Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i A. z = 4 . B. z = 2020 . C. z = 2017 . D. z = 2 Lời giải Chọn A. - Đặt z = a + bi (a,b Î ¡ ) Þ z = a- bi . - Ta có: 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i Û 3(a2 + b2 ) + 4034b.i = 48- 2016i Þ a2 + b2 = 16 - Vậy z = a2 + b2 = 4 . Chọn A. Câu 11: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z + 2z.z - 3 = 0.
3. A. 34. B. 26. C. 34. D. 26. Lời giải Chọn A 4 iz Ta có w w(1 z) 4 iz z w i 4 w 2 w i 4 w 1 z Đặt w x yi x, y ¡ 2 2 Ta có 2. x2 y 1 x 4 y2 2 x2 y2 2y 1 x2 8x 16 y2 x2 y2 8x 4y 14 0 x 4 2 y 2 2 34 Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34 z i Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P với z là số phức z khác 0 và thỏa mãn z 2 . Tính 2M m. 3 5 A. 2M m . B. 2M m . C. 2M m 10. D. 2M m 6. 2 2 Lời giải Chọn B. i 1 3 i 1 1 Ta có P 1 1 . Mặt khác: 1 1 . z |z| 2 z |z| 2 1 3 Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z 2i; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra 2 2 5 khi z 2i. 2M m . 2 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Tính giá trị của M.m . 13 3 39 13 A. . B. C. D 3 3. . 4 4 4 Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 3 z 3 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. B.4 7. 4 7. C. D.7. 4 5.
4. Từ giả thiết: w 2 1 2 w cos 2 0 vì 0 . 4 2 2 2 2 2 2 w i w i w 1 . 2 2 2 2 Vậy P 232018. Câu 21: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i 2 iz , biết z1 z2 1 Tính giá trị của biểu thức: P z1 z2 . 3 2 A. P .B. P 2 .C. P .D. P 3 . 2 2 Lời giải Chọn D. HD: Cách 1. Ta có: 2z i 2 iz 2z i 2 2 iz 2 (2z i)(2z i) (2 iz)(2 iz) 4z.z 2iz 2iz i2 4 2iz 2iz i2z.z 3z.z 3 y M 2 z.z 1 z 1 z 1 z1 1 và z2 1 M 2 Chú ý: a.a a2 2z i 2 (2z i)(2z i) (2z i)(2z i) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , z là đường tròn tâm O 1 2 M1 bán kính R 1. O x Gọi M1(z1), M 2 (z2 ) OM1 OM 2 1    Ta có: z1 z2 OM1 OM 2 M 2M1 1 OM1M 2 đều    Mà z1 z2 OM1 OM 2 OM OM với M là điểm thỏa mãn OM1MM 2 là hình thoi cạnh 1 OM 3 P 3 . Cách 2. Đặt z x yi, x, y ¡ , ta có 2z i 2x (2y 1)i và 2 iz 2 y xi . Khi đó: z 1 2 2 2 2 2 2 1 2z i 2 iz 4x (2y 1) (y 2) x x y 1 z 1 z2 1
5. 2m 4 Nên MI 2 5 d I, 2 5 2 5 2m 4 10 5 2m 4 10 m 3 . 2m 4 10 m 7 Câu 24: Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 1 i z i 3i 9 và z 2 . Tính P a b . A. 3 . B. 1 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn C. z a bi z a bi z 1 i z i 3i 9 a bi 1 i a bi i 3i 9 a2 b2 2b a 1 b 1 i 9 3i a2 b2 2b a 1 9 b 2 b 2 b 2 Ta có: 2  . b 1 3 a a 0 a 0 a 1 z1 2i z1 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán. 2 2 z2 1 2i z2 2 1 5 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy P a b 1 . Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 2 2 z i 2 . Khi đó modun của số phức w M mi A. 2 314 .B. 1258 .C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B. Giả sử z x yi x, y R ta có z 3 4i 5 x 3 2 y 4 2 5 Ta có P 4x 2y 3 4 x 3 2 y 4 P 23 2 2 2 Ta có 4 x 3 2 y 4 20 x 3 y 4 100 Suy ra 10 P 23 10 13 P 33 suy ra M 33,m 13 do đó ta được w 33 13i vậy w 1258 . Câu 26: Biết số phức z x yi , x, y ¡ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z 4 3i và biểu thức P z 1 i z 2 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P x 2y . 61 253 41 18 A. P . B. P . C. P . D. P . 10 50 5 5 Lời giải Chọn A .
6. 61 Vậy P x 2y . 10 Câu 27: Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i z 1 2i thỏa mãn z1 z2 2 . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w 3 2i 2 . Tìm GTNN của biểu thức P w z1 w z2 . A. 1 3 B. 2 3 C. 2 D. 6 . Lời giải. Chọn D . Giả sử z x yi x, y R ta có z 1 2i z 1 2i x 0 suy ra tập hợp điểm biểu diễn z1, z2 là trục tung. Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z1, z2 , ta có z1 z2 2 AB 2 . Giả sử w a bi a,b R và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có w 3 2i 2 (a 3)2 (b 2)2 4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I 3;2 bán kính R 2 . Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ 6 6 nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA MB , vậy MinP 2. 6 2 2 Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn z2 z 1 0 . Giá trị của biểu thức 2 3 4 2 1 3 1 4 1 P 2 z 2 3 z 3 4 z 4 z z z
7. z 1 1 Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z 3i 2 P z i 2 z 4 7i A. 20 .B. 10.C. 12 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A. Gọi z x yi , x, y ¡ . z 1 1 2 2 Ta có 2 z 1 z 3i 2 x 1 y2 x2 y 3 z 3i 2 x2 y2 4x 6y 7 0 . 2 2 2 Lại có P z i 2 z 4 7i x2 y 1 2 x 4 y 7 4x 8y 8 2 4x 8y 72 . 2 Mặt khác 4x 8y 8 2 4x 8y 72 5.80 4x 8y 8 2 4x 8y 72 20 Suy ra P 20 . Câu 31: Cho số phức z a bi ( a ,b là các số thực) thỏa mãn z z 3 4i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của P a.b là? 3 A. . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 Lời giải Chọn D. Ta có: 2 2 25 8b a bi a bi 3 4i a2 b2 a 3 b 4 6a 8b 25 0 a 6 Mô đun của số phức z là: 2 2 2 2 25 8b 2 100 b 2 225 15 z a b b 6 36 6 3 Số phức z b 2 a P 3 min 2
8. 4 z d O; 2 2 . min 2 Câu 34: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1 z2 5 và z1 z2 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z1 z2 là: 26 1 A. 26. B. . C. 9. D. . 2 2 Lời giải Chọn A. Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1; z2 .    5 Từ giả thiết : z1 z2 5 OM ON 5 OI 2 với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .   z1 z2 1 OM ON 1 MN 1 . OM 2 ON 2 MN 2 MN 2 Ta có OI 2 OM 2 ON 2 2OI 2 13 2 4 2 2 2 2 2 2 P z1 z2 OM ON P 1 1 OM ON 26 . Vậy Pmax 26. Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương pháp đại số, hoặc lượng giác.
9. 5 2 5 5 i.z 3 x2 y 3 . Suy ra M (x; y) C I(0;3); R 2 2 2 Khi đó: 1   P 2z 1 4i z 1 5i 2 z 2i z 1 5i 2 MA MB , 2 1 với A ;2 ; B 1;5 2  1    Ta có: IA ; 1 ; IB 1;2 suy ra IB 2.IA. 2 2 5 2 3 5 2 5 Theo định lý Stewart ta có: 5MA MB MI . 5 2 2 2 2MA2 MB2 15 (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ     1   1   2  1  MI MA AB MA AB MA MB MA MA MB 3 3 3 3 Suy ra: 4 1 4   4 1 4 MI 2 MA2 MB2 MA.MB.cos MA, MB MA2 MB2 MA.MB.cos A· MB 9 9 9 9 9 9 2 2 2 4 2 1 2 4 MA MB AB 2 2 1 2 2 2 MA MB MA.MB MA MB AB 9 9 9 2.MA.MB 3 3 9 2 2MA2 MB2 3MI 2 AB2 15 ) 3   2 Vậy P 2 MA MB 2. 2.MA MB 2 12 2MA2 MB2 45 3 5. Câu 37: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i 2 iz , biết z1 z2 1. Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 3 2 A. P . B. P 2 . C. P . D. P 3 . 2 2 Lời giải Chọn D.