Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 - Thể tích khối đa diện

Nội dung text: Trắc nghiệm Hình học Lớp 12 - Thể tích khối đa diện

1. VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A 2 2 2  BC = AB + AC (Pitago)  AH.BC = AB.AC  AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.CB 1 1 1  = + , AH 2 = HB.HC AH 2 AB 2 AC 2 B C BC H M  AM = 2 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác bất kỳ a) Định lí hàm số cosin b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = A 2bc a2 + c2 - b2 c b * b2 = a2 + c2 - 2ac cosB Þ cosB = 2ac a2 + b2 - c2 a * c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC = B C 2ab b) Định lí hàm số sin A a b c c = = = 2R b sin A sin B sinC B (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) R a C c) Công thức tính diện tích của tam giác A 1 1 1  S = a.h = b.h = c.h DABC 2 a 2 b 2 c 1 1 1  S = absinC = bc sin A = ac sin B c b DABC 2 2 2 abc  S = , S = p.r DABC 4R DABC a B C æ a + b + c÷ö SDABC = p(p - a)(p - b)(p - c), çp = ÷ èç 2 ÷ø p – nửa chu vi r – bán kính đường tròn nội tiếp R – bk đường ngoại nội tiếp d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác A AB 2 + AC 2 BC 2 BA2 + BC 2 AC 2 * AM 2 = - * BN 2 = - K N 2 4 . 2 4 CA2 + CB 2 AB 2 * CK 2 = - B M C 2 4
2. ì ï d Ì (b) b. Phương pháp 2: Chứng minh íï Þ d // mp(a) ï b // (a) îï ( ) c. Phương pháp 3: Chứng minh d và (a) cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng. 2/ Chứng minh mp(a) // mp(b) a. Phương pháp 1: Chứng minh mp(a) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp(b). b. Phương pháp 2: Chứng minh mp(a) và mp(b) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. 3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: a. Phương pháp 1: Hai mp(a),(b) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì (a) Ç(b) = Sx // a // b . ì ï a // mp(a) ï b. Phương pháp 2: Chứng minh íï a Ì mp b Þ a// b. ï ( ) ï (a) Ç b = b îï ( ) c. Phương pháp 3: Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. d. Phương pháp 4: Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song. e. Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. f. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, 4/ Chứng minh đường thẳng d ^ mp(a) ïì d ^ a ï ï d ^ b a. Phương pháp 1: Chứng minh: íï Þ d ^ mp a ï a Çb ( ) ï ï a,b Ì mp a îï ( ) ì ï d // d ' b. Phương pháp 2: Chứng minh: íï Þ d ^ mp(a) ï d ' ^ mp a îï ( ) ì ï d ^ mp(b) c. Phương pháp 3: Chứng minh: íï Þ d ^ mp(a) ï mp b // mp a îï ( ) ( ) d. Phương pháp 4: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông ì ï (a) ^ (P) ï góc với mặt phẳng thứ 3: íï b ^ P Þ d ^ P ï ( ) ( ) ( ) ï a Ç b = d îï ( ) ( ) e. Phương pháp 5: Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao ïì a ^ b ï ( ) ( ) ï (a)Ç(b) = a tuyến của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mặt phẳng kia: íï Þ d ^ (b) ï d Ì a ï ( ) ï d ^ a îï 5/ Chứng minh đường thẳng d ^ d '
3. Cách 1 : + Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) . + Xác định m P  Q . + Dựng MH m P  Q , MH  P Suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng MH // AK  P Chú ý : + Nếu MA / / P d d . M , P M , P d M , P IM + Nếu MA P I d IA M , P 2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: + Khi a // P d d với A P . a, P A, P + Khi đường thẳng a P hoặc a P thì khoảng cách bằng 0 3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : + Khi P // Q d d với A P . P , Q M , Q P  Q + Khi d 0 P , Q P  Q 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng  ' a. Khi d 0 . , '  ' b. Khi / / ' d d d với M , N ' . (a) , ' M , ' N , c. Khi hai đường thẳng chéo nhau : M + Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và ' là đường thẳng a cắt ở M và cắt ' ở N đồng thời vuông góc với cả và ' . ' + Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và ' . N + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó . Phương pháp : + Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) + Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm . + Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . * Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau : + Dựng P b, P //a . + Dựng a ' hch P a , bằng cách lấy M a + Dựng đoạn MN  , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a . + Gọi H a 'b , dựng HK //MN HK là đoạn vuông góc chung cần tìm ( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) . * Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì: + Dựng một mp P b, P a tại H . + Trong (P) dựng HK b tại K . + Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
4. Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là hình vuông. IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT 1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ: Hình chópS.ABCD có cạnh bên SA ^ (ABCD)thì chiều cao là SA . 2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC )thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của DSAB . 3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB)và(SAD)cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD)thì chiều cao là SA . 4/ Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO . THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN Thể tích Diện tích xung quanh Diện tích toàn phần 1 V B.h 3 S = Tổng diện tích các mặt S = S + Diện tích mặt KHỐI CHÓP xq tp xq bên đáy + B là diện tích đáy + h đường cao hình chóp V B.h KHỐI LĂNG + B là diện tích đáy Sxq = Tổng diện tích các mặt Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt TRỤ + h là đường cao lăng trụ bên đáy h V = B + B '+ BB ' 3( ) KHỐI CHÓP Sxq = Tổng diện tích các mặt Stp = Sxq + Diện tích mặt CỤT +Với B,B ' là diện tích hai bên đáy đáy + h đường cao hình chóp Chú ý: I. Thể tích hình hộp chữ nhật: V = a.b.c Þ Thể tích khối lập phương: V = a3 a a a b a c Hình hộp chữ nhật Hình lập phương II. 4 phương pháp thường dùng tính thể tích 1.Tính thể tích bằng công thức.
5. + Giả sử bài toán đã được qui về tìm chiều cao kẻ từ đỉnh S của một hình chóp (hoặc một lăng trụ). Ta tìm thể tích của hình chóp (lăng trụ) này theo một con đường khác mà không dựa vào đỉnh S này, chẳng hạn như quan niệm hình chóp ấy có đỉnhS ' ¹ S . Sau đó, tính diện tích đáy đối diện với đỉnhS . Như thế, ta suy ra được chiều cao kẻ từS cần tìm. CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là DABC vuông cân ởB,AC = a 2,SA ^ mp(ABC ),SA = a . a3 a. Tính thể tích khối chóp S.ABC .ĐS: V = (đvtt). S.ABC 6 b. Gọi G là trọng tâm của DSBC , mp(a)đi quaAG và song song với BC cắt SC,SB lần lượt tại M ,N . Tính 2a3 thể tích khối chóp S.AMN .ĐS: V = (đvtt). SAMN 27 Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là DABC đều cạnh a và SA ^ (ABC ),SA = 2a . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên cạnh SB,SC . a3 3 a. Tính thể tích khối chóp H.ABC theo a .ĐS: V = (đvtt). H .ABC 30 3a3 3 b. Tính thể tích khối A.BCKH theo a .ĐS: V = (đvtt). A.BCKH 50 a 3 c. Tính khoảng cách từH đếnmp SAC .ĐS: d = đvđd . ( ) éH , SAC ù ( ) ëê ( )ûú 10 Bài 3. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC ), AC = AD = 4(cm),AB = 3(cm), 6 34 BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ A đến mp BCD . ĐS: d = cm ( ) ( ) éA, DBC ù ( ) ëê ( )ûú 17 · 0 Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác có AC = a, AB = 3a , BAC = 60 . Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC ) biết H Î AB và AH = 2HB . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABC b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC ). · 0 Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy DABC là tam giác vuông tại B và SA ^ (ABC )với ACB = 60 , BC = a,SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB . a. Chứng minh rằng: mp(SAB) ^ mp(SBC ). a3 b. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: V = (đvtt). S.ABC 2 a3 c. Tính thể tích khối tứ diệnMABC .ĐS: V = (đvtt). MABC 4 a d. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp SAC . ĐS: d = đvđd ( ) éM , SAC ù ( ) ëê ( )ûú 2 Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a ,SA ^ (ABCD), SA = a 3 . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD . a3 3 a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . ĐS: V = (đvtt). S.ABCD 3
6. DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Chú ý: ì ï (P) ^ (Q) ï ï (P)Ç(Q) = a - í Þ b ^ (Q) ï b Ì P ï ( ) ï b ^ a îï - Tam giác BAC cân tại A ,I là trung điểm BC Þ AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác DABC . - Tam giác ABC đều , G là trọng tâm DABC , M ,N,P lần lượt là trung điểm cạnh BC,AC,AB . Ta cần nhớ: ïì 1 2 ï AG = GM = AM ï 3 3 ï 1 2 + íï BG = GN = BN ï 3 3 ï 1 2 ï CG = GP = CP îï 3 3 + AM ,BN,CP vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của DABC . Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD). a. Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của cạnh AB . a3 3 b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD . ĐS: V = (đvtt). S.ABCD 6 a3 3 c. Tính thể tích khối chóp S.BCD . ĐS: V = (đvtt). S.BCD 12 a 3 d. Tính khoảng cách từ D đến mp SBC . ĐS: d = đvđd . ( ) éD, SBC ù ( ) ëê ( )ûú 2 Bài 2. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh là a và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp(ABCD). Cạnh bên SC hợp với mp(ABCD)một góc bằng 300 . a3 30 a. Tính thể tích khối chópS.ABCD đã cho. ĐS: V = . S.ABCD 12 a 3 b. Tính khoảng cách của điểm C đến mp SAD ĐS: d = đvđd . ( ) éC, SAD ù ( ) ëê ( )ûú 2 a 390 c. Tính khoảng cách của điểm B đến mp SAC ĐS: d = đvđd . ( ) éB, SAC ù ( ) ëê ( )ûú 13 · 0 · 0 Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90 ,ABC = 30 ,DSBC là tam giác đều cạnh a và mp(SAB) ^ mp(ABC ). a3 39 a. Tính thể tích khối chóp S.ABC . ĐS: V = (đvtt). S.ABC 96 a 39 b. Tính khoảng cách từ B đến mp SAC .ĐS: d = đvđd . ( ) éB, SAC ù ( ) ëê ( )ûú 8 c. Gọi G là trọng tâm DSBC . Tính khoảng cách của điểm G đến mp(SAC ). Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , cóBC = a . Mặt bên (SAC ) vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SAB) tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 . Biết DSAC cân tại S .