Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Số phức

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Số phức

1. Page 1
2. 1 i 5 2 a)z 3 4i; b) z 3 2i; c)z ; d)z 3 i 2 . 3 2i Ví dụ 6. Cho z 2a 1 3b 5 i, a,b ¡ . Tìm các số a, b để a) z là số thực b) z là số ảo. Ví dụ 7. Tìm m R để: 2 a) Số phức z 1 1 mi 1 mi là số thuần ảo. m 1 2 m 1 i b) Số phức z là số thực. 1 mi Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z z' , với từng trường hợp a)z 3x 9 3i, z' 12 5y 7 i; b)z 2x 3 3y 1 i, z' 2y 1 3x 7 i. 2 3 c)(x2 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i. 9 6 3 i d) x2 y2 2i 3i 1 y2 2x 320 896i 4 1 i 100 98 96 Ví dụ 9. Chứng minh rằng : 3 1 i 4i 1 i 4 1 i . Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết z 3i 2 i 2i3 . 3 1 3i b) Cho số phức z thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức z iz . 1 i i m 1 Ví dụ 11. Xét số phức: z . Tìm m để z.z 1 m m 2i 2 Ví dụ 12. Tính S 1 i i2 i3 i2012 . Ví dụ 13. Số phức z x 2yi x,y ¡ thay đổi thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P x y . Ví dụ 14. Cho số phức z cos2 sin cos i , với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z . Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i. B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2. C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i.D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2. Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức z1 1 i và z2 2 3i . Tính môđun của số phức z1 z2. A. z1 z2 13 . B. z1 z2 5 . C. z1 z2 1 . D. z1 z2 5 . Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z 2 5i. Tìm số phức w iz z A. w 7 3i. B. w 3 3i. C. w 3 7i. D. w 7 7i Ví dụ 17. (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tìm số phức liên hợp của số phức z i(3i 1) A. B.z C.3 D. i z 3 i z 3 i z 3 i Page 3
3. 4 7i 8 7i 4 7i 4 5i A. B. C. D. 133 133 113 113 23 23 123 123 1 7 1 Câu 9. Tính A i 2i i7 A. i B. i C. i D. 1 33 1 i 10 1 Câu 10. Tính B 1 i 2 3i 2 3i ; 1 i i A. 13 3i B. 33 31i C. 13 32i D. 3 32i 2 3 20 Câu 11. Tính C 1 1 i 1 i 1 i 1 i Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn 2x 1 1 2y i 2 x 3y 2 i là: 1 3 1 1 1 1 1 3 A. x ,y B. x ,y C. x ,y D. x ,y 3 5 5 5 3 5 3 5 Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn 4x 3 3y 2 i y 1 x 3 i là: 5 2 5 2 5 2 5 2 A. x ,y B. x ,y C. x ,y D. x ,y 11 11 11 11 11 11 11 11 3 Câu 14. Cặp số thực x, y thỏa mãn x 3 5i y 1 – 2i 7 32i là: A. x 6; y 1 B. x 6; y 1 C. x 6; y 1 D. x 6; y 1 x 1 y 1 Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn là: 1 i 1 i A. x 1; y 1 B. x 1; y 1 338 61 D. x 1; y 1 C. x ; y 49 49 1 y Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn 2 3i là: x i 3 3i A. x,y 0;12 ; 1;15  B. x,y 0;2 ; 1;5  C. x,y 10;2 ; 10;5  D. x,y 1;2 ; 1;15  Câu 17. Các cặp số thực x, y thỏa mãn x i 1 yi 3 2i x 1 4i là: A. x,y 1;1 ; 1;2  5  B. x,y 1; 2 ; ;4  2  1  1 3  C. x,y ;2 ; 1; 3  D. x,y 1; ; 2;  2  2 2  2 Câu 18. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để x iy là số thực x 1 x 1 x 0 x 2 A. B. C. D. y 1 y 1 y 0 y 1 2 Câu 19. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để x iy là số ảo x 0 x 0 x 0 x 0 A. C. B. 2 2 D. 2 2 3x y 3x y x 3y x 3y Page 5
4. CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC Phương pháp ▪ Trong mặt phẳng phức, số phức z x yi, (x,y ¡ ) được biểu diễn bằng : • Điểm M x; y , kí hiệu M z  • Vectơ OM x; y • Vectơ u (x; y) ▪ Biểu diễn hình học của z, z, z M z và M z đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. M z và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox. ▪ Biểu diễn hình học của z z' ,z z' ,kz k ¡ Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức z; M' ,v biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:   OM OM' và u v biểu diễn số phức z z’ ;    OM OM' M'M và u v biểu diễn số phức z z’ ;  kOM, ku biểu diễn số phức kz. ▪ Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì : OM z ;AB b a . I. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d. a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c. b) Nếu thêm giả thiết a b c ,chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu a b c 0. Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức a 2 2i,b 1 i,c 5 mi m R . a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D); b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức : 3 i 3 i z, z và z. 3 3 Chứng minh rằng: a) z C, tam giác OMA vuông tại M; b) z C, tam giác MAB là tam giác vuông; c) z C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật. Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức a 1 i, b i, c 1 ki, k ¡ . a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng; Page 7
5. Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức a 1,b 1 i và c b2 . Câu 4.1. Xác định sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác A. 1 B. 1 C. 1 D. 0 Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác cân B. Tam giác đều C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật A. d 1 2 i. B. d 1 2 i. C. d 1 2 i. D. d 1 2 i. Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 ,z2 ,z2 . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào? A. z1 z2 z2 . B. z1 z2 z2 1 1 C. z z z D. z z z 3 1 2 2 3 1 2 2 Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 ,z2 ,z2 thỏa mãn z1 z2 z3 . Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 z2 z3 0. A. z1 z2 z3 B. z1 z2 z3 0 C. z z z z z z 0 2 2 2 1 2 2 3 3 1 D. z1 z2 z3 Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z1, z2 khác 0 thỏa mãn 2 2 đẳng thức z1 z2 z1z2 . Tam giác OMN là tam giác gì? A. Tam giác cân B. Tam giác đều C. Tam giác vuông D. Tam giác vuông cân Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức a 1 i,b a2 và c x i, x ¡ . Tìm x sao cho Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B A. x 1 B. x 2 C. x 3 D. x 5 Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C A. x 7 B. x 2 C. x 3 D. x 5   Câu 9. Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3 2i . Gọi x là biểu diễn của số phức 6 4i .   Hãy phân tích x qua u,v 24  14  24  14  24  14  24  14  A. x u v B. x u v C. x u v D. x u v 11 11 11 11 11 11 11 11 Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức z,z2 ,z3 lập thành Câu 10.1.Tam giác vuông tại A A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 1. B. Quỷ tích của z là đường tròn x2 y2 1 2 x2 y 1 2 C. Quỷ tích của z là đường elip 1. D. Quỷ tích của z là Parabol y x 1 2 2 Câu 10.2.Tam giác vuông tại B A. Quỷ tích của z là đường thẳng x 0. Page 9
6. CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp • Giả sử các điểm M, A ,B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b. o z a z b MA MB M thuộc đường trung trực của đoạn AB. o z a z b k, k R,k 0,k a b MA MB k M thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k. ▪ Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và w f z . Đặt z x iy và w u iv x,y,u,v R . Hệ thức w f z tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x,y,u,v o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra được tập hợp các điểm M’. o Nếu biết một hệ thức giữa u,v ta tìm được một hệ thức giữa x,y và suy ra được tập hợp các điểm M. I. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường thẳng } z 1 3i a) z i z i ; b) 1; c) z z z z 1 0 với z 1 i. z 1 i 0 0 0 Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường tròn } a) z 3 4i 2 ; b) z i 1 i z 2 c) z 2iz 2i3 z 0 ; d) 2iz 1 5 . Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}: z 1 z 1 4. Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo thực} 2z 1 z 1 a) là số ảo; b) , z 2i là số thực. z 1 z 2i 2 Ví dụ 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z' 2z 3 i , với 3z i z.z 9 Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z 1 2 .Tìm tập hợp biểu diễn số phức w 2z i . Ví dụ 7. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 1 z i 2 . {Hình vành khăn} Ví dụ 8. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z i z z 2i Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3z 2 i 3 z Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i 2 a) là số thực dương với z i ; b) z2 z z i Page 11
7. A. Hai đuờng thẳng x 0 , y 0 . B. Hai đuờng thẳng x 0 , y 2 . C. Hai đuờng thẳng x 0 , x 2 . D. Hai đuờng thẳng x 2 , y 2 . Câu 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 2 là 2 2 A. Đuờng thẳng x y 2 0 B. Đường tròn x 1 y 1 4 C. Đường thẳng x y 2 0 D. Đường tròn tâm I 1; 1 và bán kính R 2. z Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 3 z 1 là 18 9 18 9 A. Đuờng tròn x2 y2 y 0 B. Đường tròn x2 y2 y 0 8 8 8 8 2 2 18 9 9 1 C. Đường tròn x y y 0 D. Đường tròn tâm I 0; và bán kính R . 8 8 8 8 Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 2i 2z 1 2i là 2 4 8 2 4 8 A. Đuờng tròn x2 y2 x y 0 B. Đường tròn x2 y2 x y 0 3 3 3 3 3 3 2 4 8 2 4 8 C. Đường tròn x2 y2 x y 0 D. x2 y2 x y 0 3 3 3 3 3 3 Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 i z là 2 2 A. Đuờng tròn x2 y 1 2 B. Đường tròn x2 y 1 2 2 2 2 2 C. Đường tròn x 1 y 1 2 D. x 1 y 1 2 Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 4i 10 là x2 y2 x2 y2 A. Đuờng elip 1 B. Đuờng elip 1 9 16 16 9 x2 y2 x2 y2 C. Đuờng elip 1 D. Đuờng elip 1 4 3 9 4 Câu 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 5 là A. Đuờng tròn B. Đuờng elip C. Đuờng parabol D. Đuờng thẳng Câu 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z z 2 là A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung Page 13