Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Lôgarit

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 12 - Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Lôgarit

1. CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit A. Kiến thức cơ bản I. Lũy thừa 1. Định nghĩa lũy thừa Số mũ Cơ số a Lũy Thừa a n N * a R a an a.a a (n thừa số a) 0 a 0 a a 0 1 1 n( n N * ) a 0 a a n a n m m * (m Z,n N ) a 0 n n m n n n a a a ( a b b a) * rn lim rn (rn Q,n N ) a 0 a lim a 2. Tính chất của lũy thừa • với mọi a > 0, b > 0 ta có : a a a a .a  a  ; a  ; (a )  a . ; (ab) a .b ; a  b b • a > 1 : a a  ; 0 < a < 1 : a a  • Với 0 < a < b ta có : am bm m 0 ; am bm m 0 Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương 3. Định nghĩa và tính chất của căn bậc n • Căn bậc n (n N*, ) của a là số b sao cho bn a . • nếu n là số nguyên dương lẻ thì n a xác định a , nếu n là số nguyên dương chẵn thì n a xác định a 0 n n a a 0 • n là số nguyên dương lẻ an a a , n là số nguyên dương chẵn an a a a<0 • Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có :
2. - Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức - Đưa biểu thức về dạng lũy thừa - So sánh lũy thừa - Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho - Chứng minh đẳng thức C. Bài tập luyện tập Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa b a a) 4 x2 3 x , x 0 b) 5 3 , a,b 0 c) 5 23 2 2 a b Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau 1,5 1,5 a b 0,5 0,5 1 1 1 1 3 1 a b 0,5 a0,5 b0,5 2b x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2y a) b) . a b a0,5 b0,5 1 1 1 1 x y x y xy 2 x 2 y xy 2 x 2 y 3 a 3 b c) (a,b>0 , a ≠ b) 6 a 6 b Bài 3 So sánh m và n m n m n 1 1 a) 2 2 b) 9 9 Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết 2 1 0,2 1 2 a) a 1 3 a 1 3 b) a a x 1 x 5 5 2 8 c) 4 1024 d) 2 5 125 x x 1 e) 0,1 100 f) 3 0,04 5 Bài 5. Rút gọn biểu thức : 1/3 log 3 a.log 4 a a) log 3 a (a > 0) b ) a a ( 0 a 1) a 7 log1 a a Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho : a) Cho log2 14 a . Tính log49 32 theo a.
3. 1 Câu 6 : Nếu log x log 9 log 5 log 2 (a > 0, a 1) thì x bằng : a 2 a a a 2 3 6 A. B. C. D. 3 5 5 5 Câu 7: Nếu log2 x 5log2 a 4 log2 b (a, b > 0) thì x bằng : A. a5b4 B. a4b5 C. 5a + 4b D. 4a + 5b 2 3 Câu 8 : nếu log7 x 8log7 ab 2 log7 a b (a, b > 0) thì x bằng : A. a4b6 B. a2b14 C. a6b12 D. a8b14 Câu 9: Cho log2 = a. Tính log25 theo a? A. 2 + a B. 2(2 + 3a)C. 2(1 - a) D. 3(5 - 2a) Câu 10 : Cho log 2 5 a; log3 5 b . Khi đó log6 5 tính theo a và b là : 1 ab A. B. C. a + b D. a2 b2 a b a b Câu 11 : Cho hai số thực dương a và b, với a 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? 1 1 A. log 2 ab log b. B. log 2 ab log b. a 2 a a 4 a 1 1 C. log ab 2 2loga b. D. log 2 ab loga b. a2 a 2 2 32 Câu 12. Cho log2 = a . Tính log 4 theo a, ta được: 5 1 æ6 ö 1 1 1 A. ça - 1÷. B. (5a- 1).C. (6a- 1). D. (6a + 1). 4 èç ÷ø 4 4 4 2log a Câu 13. Rút gọn biểu thức P = 3 3 - log a2.log 25 (0 < a ¹ 1) , ta được: 5 a A. P = a2 + 4 . B. P = a2 - 2 . C. P = a2 - 4 .D. P = a2 + 2 . 2 Câu 14: Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 7 5 6 11 A. a 6 B. a 6 C. a 5 D. a 6 4 Câu 15: Biểu thức a 3 : 3 a2 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 5 2 5 7 A. a 3 B. a 3 C. a 8 D. a 3
4. Chuyên đề 2: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ Chủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit A. Kiến thức cơ bản I. HÀM SỐ LŨY THỪA a) ĐN: Hàm số có dạng y x với R b) Tập xác định: • D = R với nguyên dương • D R\ 0 với nguyên âm hoặc bằng 0 • D = 0; với không nguyên c) Đạo hàm Hàm số y x ( R ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x ' x 1 d) Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) Khi > 0 hàm số luôn đồng biến, khi 0. khi 1: Hàm số đồng biến Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm về phía trên trục hoành f) Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ¥ * ) là:
5. HD: a,(e3x)’ = e3x.(3x)’ = 3e3x b, (2x)’ = 2x.ln2; 2 2 2 c,(31 x )’ = 31 x .(ln3). (1-x2)’ = -2x.31 x .ln3 Bài 2: Tìm TXĐ của các hàm số sau: 2 a, y = x3 b, y = x -3 c, y = x 3 d, y = x 2 HD: a, y = x3 có D = R (vì = 3 nguyên dương) b, y = x -3 có D = R\{0} (vì = - 3 nguyên âm) 2 c, y = x 3 ( hữu tỉ); d, y = x 2 ( vô tỉ) nên có D = R+ = (0;+ ) Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3 a, y= x 4 (x>0) b, y= 3 1 x2 ( 1 x 1) HD: 3 3 1 3 1 3 3 3 + (x 4 )' x 4 = x 4 = = 4 4 1 44 x 4x 4 1 2 1 2x +( 3 1 x2 )’=[ (1 x2 )3 ]’= (1 x2 ) 3 .(-2x) = 3 33 (1 x2 )2 Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a, y 22x 3 b, y x2 2x 2 ex HD 2x 3 a , y’ = 2.2 .ln 2 2 x b, y ' x e Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm. a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
6. HD: ( x)' 1 1 a, (ln x )’ = = (vì ( x)' = ) x 2x 2 x 2 2 (3x 5)' 6x b, [log2(3x - 5)]’ = = (3x2 5).ln 2 (3x2 5).ln 2 D. Bài tập TNKQ 2 Câu 1: Đạo hàm của hàm số y 3x 1 là: 2 1 2 1 1 2 3 2 A. 3 2 3x 1 B. 3 2 3x 1 C. 3 2 3x 1 D. 2 1 3x 1 3 Câu 2: Tập xác định của hàm số y x 3 2 4 5 x là: A. D 3; . B. D 3;5 . D 3; \ 5 D. D 3;5 . C.   4 Câu 3. Hàm số y 4x2 1 có tập xác định là: 1 1  1 1 A. R B. (0; + ) C. R\ ;  D. ; 2 2  2 2 Câu 4 Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số ? A. B. C. D. 2 Câu 5: Hàm số y 2ln x x có đạo hàm y' là: 1 ln x x2 1 ln x x2 A. 2x 2 . B. 2x 2 ln 2. x x 2 2 2ln x x 1 2ln x x C. . D. 2x . ln 2 x ln 2 Câu 6: Đạo hàm của hàm số y e x sinx là:
7. Câu 13: Đạo hàm của hàm số là : y log3 1 x 1 1 A. y' . B. y' . (1 x)ln 3 x(1 x)ln 3 1 1 C. y' . D. y' . 2 x ln 3 2( x x)ln 3 Câu 14: Hàm số y = 3 2x2 x 1 có đạo hàm f’(0) là: 1 1 A. B. C. 2 D. 4 3 3 Câu 15: Cho hàm số y = 4 2x x2 . Đạo hàm f’(x) có tập xác định là: A. RB. (0; 2) C. (- ;0)  (2; + ) D. R\{0; 2} Câu 16: Hàm số y = 3 a bx3 có đạo hàm là: bx bx2 3bx2 A. y’ = B. y’ = C. y’ = 3bx2 3 a bx3 D. y’ = 3 3 2 3 3 3 a bx 3 a bx3 2 a bx Câu 17: Cho f(x) = x2 3 x2 . Đạo hàm f’(1) bằng: 3 8 A. B. C. 2 D. 4 8 3 x 2 Câu18: Cho f(x) = 3 . Đạo hàm f’(0) bằng: x 1 1 A. 1 B. C. 3 2 D. 4 3 4 Câu19: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng nó xác định? 3 A. y = x-4 B. y = x 4 C. y = x4 D. y = 3 x 2 Câu20: Cho hàm số y = x 2 . Hệ thức giữa y và y” không phụ thuộc vào x là: A. y” + 2y = 0B. y” - 6y 2 = 0 C. 2y” - 3y = 0 D. (y”)2 - 4y = 0 Câu21: Cho hàm số y = x-4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng.
8. Chủ đề 2.3: Phương trình mũ , bất phương trình mũ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Một số tính chất đối với hàm số mũ. a) Luỹ thừa: * Các công thức cần nhớ: 1 m a0 1; a n ; a n n am an * Tính chất của lũy thừa: n n m n m n m n mn a a a .a a ; a a ; n ; b b m a n am n ; ab an .bn an * Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì am an m n + Với 0 0: a b x loga b (0 0) Minh họa bằng đồ thị
9. Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho anf (x) hoặc bnf (x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A.a f (x) B b f (x) C 0 với a.b = 1 + Dạng 2: A.a f (x) B b f (x) C.c f (x) 0 , với a.b = c2 Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = a f (x) b f (x) = 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho c f (x) để đưa về dạng 1. 3. Phương pháp logarit hóa Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng a f (x).bg (x).ch(x) d ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). II. Bất phương trình mũ 1. Bất phương trình mũ cơ bản Xét bất phương trình ax > b - Nếu b 0 , tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 b,x R - Nếu b > 0 thì BPT tương đương với a x aloga b Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab Nếu 0 <a < 1 thì nghiệm của bất PT là x < logab 2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số 3. Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ C. Bài tập luyện tập 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số Ví dụ: Giải các phương trình sau: 2 1) 2 x 28 2) 2x 3x 2 2x 2 2 3) 3 2 x 33x 4) 2 x 8 LG 1) Pt x 8 x 8
10. Với t=1 ta có x=0 Với t=3 ta có x=1 2x x x x x 3 3 2) 9 3.6 2.4 0 3 2 0 2 2 x 3 2 t 1 Đặt t 0 ta được phương trình: t 3t 2 0 2 t 2 x 3 Với t=1 ta có 1 x 0 2 x 3 Với t=2 ta có 2 x log 3 2 2 2 Ví dụ: Giải các phương trình sau : 32x 8 4.3x 5 27 0 2 HD: 38.32x 4.35.3x 27 0 6561. 3x 972.3x 27 0 (*) 1 t x 2 9 Đặt t 3 0 Phương trình (*) 6561t 972t 27 0 1 t 27 1 Với t 3x 3 2 x 2 9 1 Với t 3x 3 3 x 3 27 Vậy phương trình có nghiệm: x 2, x 3 Ví dụ: Giải các phương trình sau : 25x 2.5x 15 0 2 HD: 25x 2.5x 15 0 5x 2.5x 15 0 (*) x 2 t 5 Đặt t 5 0 Phương trình (*) t 2t 15 0 t 3 (loai) Với t 5 5x 5 x 1 Vậy phương trình có nghiệm: x 1 Ví dụ: Giải các phương trình sau : 3x 2 32 x 24