Chuyên đề Tích phân ẩn hàm phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục (Có lời giải)

Nội dung text: Chuyên đề Tích phân ẩn hàm phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục (Có lời giải)

1. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Các tính chất tích phân: b c b  f x dx f x dx f x dx với a c b . a a c b b  k f x dx kf x dx k 0 a a b a  f x dx f x dx a b b b  f x dx F x F b F a a a b b b  f x g x dx f x dx g x dx a a a b b b  f x dx f t dt f z dz a a a b b  f x dx f x f b f a a a 2. Công thức đổi biến số: f u x .u x dx f u du, u u x b u b f u x .u x dx f u du, u u x . a u a Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính g x dx . Nếu ta viết được g x dưới dạng f u x u x thì a b u b u b g x dx f u du . Vậy bài toán quy về tính f u du , trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a u a u a này đơn giản hơn .   Giả sử cần tính f x dx . Đặt x x t thỏa mãn x a ,  x b thì  b b f x dx f x t x t dt g t dt , trong đó g t f x t .x t a a BÀI TẬP MẪU x2 1 khi x 2 f (x) (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số 2 . Tích phân x 2x 3 khi x 2 2 f (2sin x 1)cos x dx bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
2. Lời giải Chọn A 1 Xét I f ( 3 1 x)dx 7 Đặt t 3 1 x 3t 2dt dx x 7 t 2 Đổi cận: . x 1 t 0 0 2 1 2 2 2 2 25 I 3 t f (t)dt 3 x f (x)dx 3 x x 1 dx xdx . 2 0 0 1 12 1 3 1 Câu 3. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 4 , f x dx 6 . Tính I f 2x 1 dx 0 0 1 A. I 3 .B. I 5 .C. I 6 .D. I 4 . Lời giải Chọn B 1 Đặt u 2x 1 d x du . Khi x 1 thì u 1. Khi x 1 thì u 3. 2 1 3 1 0 3 Nên I f u du f u du f u du 2 1 2 1 0 1 0 3 f u du f u du . 2 1 0 1 Xét f x d x 4. Đặt x u d x du . 0 Khi x 0 thì u 0 . Khi x 1 thì u 1. 1 1 0 Nên 4 f x d x f u du f u du . 0 0 1 3 3 Ta có f x d x 6 f u du 6 . 0 0 1 0 3 1 Nên I f u du f u du 4 6 5 . 2 1 0 2 Câu 4. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 1 x trên tập ¡ và thỏa mãn F 1 3 . Tính tổng F 0 F 2 F 3 . A. 8 .B. 12.C. 14. D. 10. Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: 2 2 2 Ta có: f x dx F 2 F 1 F 2 3 mà f x dx 2dx 2 nên F 2 5 . 1 1 1 1 1 1  f x dx F 1 F 0 3 F 0 mà f x dx 2xdx x2 1 1 nên F 0 2 . 0 0 0 0
3. x 2 t 1 Đổi cận: x 8 t 1 8 1 1 Khi đó f x dx f t5 4t 3 5t 4 4 dt 2t 1 5t 4 4 dt 10 . 2 1 1 3 Câu 8. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f (x) 3 f (x) 5 x với x ¡   10 . Tính I f (x)dx . 5 A. I 0 . B. I 3 . C. I 5 . D. I 6 Lời giải Chọn B Đặt t f (x) 2t3 3t 5 x dx (6t 2 3)dt và x 5 2t3 3t 5 5 t 0 x 10 2t3 3t 5 10 t 1 10 1 Vậy I f (x)dx t(6t 2 3)dt 3 . 5 0 1  2 Câu 9. Cho hàm số f x xác định ¡ \ , thỏa f x , f 0 1 và f 1 2. Giá trị của 2 2x 1 biểu thức f 1 f 3 bằng A. ln15. B. 2 ln15. C.3 ln15. D. 4 ln15. Lời giải Chọn C 2 Ta có f x 2x 1 1 ln 1 2x C ; x 2 1 2 f x dx ln 2x 1 C 2x 1 1 ln 2x 1 C ; x 2 2 f 0 1 C1 1 và f 1 2 C2 2 . 1 ln 1 2x 1 ; x 2 f 1 ln3 1 Do đó f x 1 f 3 ln5 2 ln 2x 1 2 ; x 2 f 1 f 3 3 ln15. 3x2 2x khi x 0 2 Câu 10. Cho hàm số f (x) . Khi đó I cos xf sin x dx bằng 5 x khi x 0 2 15 17 A. . B. 15.C. 8 .D. . 2 2 Lời giải: Chọn A x t 1 2 Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận . x t 1 2
4. Lời giải: Chọn A x t 1 2 Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận . x t 1 2 1 1 I f t dt f x dx 1 1 x2 x khi x 0 Do f (x) x khi x 0 0 1 2 I xdx x2 x dx . 1 0 3 x2 x 1 khi x 3 2 Câu 14. Cho hàm số f (x) . Khi đó I xf x2 1 dx bằng 2x 1 khi x 3 0 73 74 A. 24 . B. .C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B 2 1 x 0 t 1 Đặt t x 1 dt 2xdx xdx dt . Đổi cận . 2 x 2 t 5 1 5 1 5 I f t dt f x dx 2 1 2 1 x2 x 1 khi x 3 Do f (x) 2x 1 khi x 3 3 5 1 2 73 I 2x 1 dx x x 1 dx . 2 1 3 3 1 3x 3 khi x 2 2 Câu 15. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f sin x cos xdx . 1 x 4 khi x 0 2 17 13 21 A. 8 .B. .C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B 2 Xét I f sin x cos xdx 0 Đặt sin x t cos xdx dt Với x 0 t 0 x t 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 17 I f t dt f x dx f (x)dx f (x)dx 3x 3 dx x 4 dx . 0 0 0 1 0 1 4 2 2 2x2 1 khi x 0 3 Câu 16. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 3cos x 2 sin xdx . 2 2x x 1 khi x 0 0
5. 1 Với x t 1 e x e t 3 3 3 2 3 2 3 69 I f t dt f x dx f x dx f x dx 11 x dx 2x3 x 5 dx . 1 1 1 2 1 2 2 1 x2 khi x 3 ln 2 Câu 19. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 3ex 1 exdx . 7 5x khi x 3 0 13 102 94 25 A. .B. .C. . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét I f 3ex 1 exdx 0 1 Đặt 3ex 1 t 3exdx dt exdx dt 3 Với x 0 t 2 x ln 2 t 5 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 94 I f t dt f x dx f x dx 1 x2 dx (7 5x)dx . 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 9  Mức độ 4 2 Câu 1. Giá trị của tích phân max sin x,cos xdx bằng 0 1 A. 0 .B. 1.C. 2 . D. . 2 Lời giải Chọn C Ta có phương trình sin x cos x 0 có một nghiệm trên đoạn 0; là x . 2 4 Bảng xét dấu 2 4 2 Suy ra max sin x,cos x dx cos xdx sin xdx sin x 4 cos x 2 2 .  0 0 0 4 4 2 Câu 2. Tính tích phân I max x3 , xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. .D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt f x x3 x ta có bảng xét dấu sau:
6. 1 0 0 1 Vậy f x 1 dx f x dx x3 x 1 dx . 0 1 1 4 1 2 Câu 5. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0, f x dx 7 và 0 1 1 1 x2 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 7 7 A. . B. 1. C. .D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3 1 3 2 x x x 1 Ta có x f x dx f x f x dx . Suy ra f x dx . 3 3 3 3 0 0 0 0 1 x6 1 Hơn nữa ta dễ dàng tính được dx . 0 9 63 1 1 3 1 6 1 2 x 2 x 3 2 Do đó f x dx 2.21 f x dx 21 dx 0 f x 7x dx 0 . 0 0 3 0 9 0 7 7 Suy ra f x 7x3 , do đó f x x4 C . Vì f 1 0 nên C . 4 4 1 7 1 7 Vậy f x dx x4 1 dx . 0 4 0 5 Câu 6. Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện f 1 1 và f 2 4 . Tính 2 f x 2 f x 1 J dx . 2 1 x x 1 1 A. J 1 ln 4 . B. J 4 ln 2 . C. J ln 2 . D. J ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D 2 f x 2 f x 1 2 f x 2 f x 2 2 1 Ta có J dx dx dx dx . 2 2 2 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 1 u du 2 dx Đặt x x . dv f x dx v f x 2 2 f x 2 f x 1 1 2 f x 2 f x 2 2 1 J dx . f x dx dx dx 2 2 2 2 1 x x x 1 1 x 1 x 1 x x 2 1 1 1 f 2 f 1 2ln x ln 4 . 2 x 1 2 Câu 7. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn 1 1 f x , f 3 f 3 0, f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 x2 x 2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20 .B. ln 2 . C. ln80 1.D. ln 1. 3 3 3 3 3 5 Lời giải Chọn B
7. Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g(x) có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f (1) g(1) 0 và x g(x) 2017x (x 1) f (x) (x 1)2 , x 1;2. x3 g (x) f (x) 2018x2 x 1 2 x x 1 Tính tích phân I g(x) f (x) dx . 1 x 1 x 1 3 A. I . B. I 1. C. I . D. I 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 x 1 g(x) f (x) 2017 (x 1)2 x Từ giả thiết ta có: , x 1;2. x 1 g (x) f (x) 2018 x 1 x2 Suy ra: 1 x x 1 1 x x 1 g(x) g (x) f (x) f (x) 1 g(x) f (x) 1 2 2 (x 1) x 1 x x x 1 x x x 1 g(x) f (x) x C. x 1 x 2 x x 1 2 1 Mà f (1) g(1) 0 C 1 I g(x) f (x) dx (x 1)dx . 1 x 1 x 1 2 3 2 x x 2 khi x 1 2 Câu 11. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f 3sin x 1 sin 2xdx . x 3 khi x 1 0 21 13 20 5 A. .B. .C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A 2 Xét I f 3sin2 x 1 sin 2xdx 0 1 Đặt 3sin2 x 1 t 3sin 2xdx dt sin 2xdx dt 3 Với x 0 t 1 x t 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 I f t dt f x dx f (x)dx f (x)dx 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 2 21 x3 x 2 dx x 3 dx . 3 1 3 1 4 2x 1 khi x 1 13 Câu 12. Cho hàm số f (x) . Tính tích phân f x 3 2 dx . 2 x khi x 1 1 231 97 16 113 A. .B. .C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B
8. 2x2 1 khi x 0 4 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) x 1 khi 0 x 2. Tính tích phân f 2 7 tan x dx . 2 cos x 5 2x khi x 2 4 201 34 155 109 A. .B. .C. .D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D 4 1 Xét I f 2 7 tan x dx 2 cos x 4 1 1 Đặt 2 7 tan x t dx dt cos2 x 7 Với x t 9 4 x t 5 4 1 9 1 9 1 0 1 2 1 9 I f t dt f x dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 7 5 7 5 7 5 7 0 7 2 1 0 1 2 1 9 109 2x2 1 dx x 1 dx 5 2x dx . 7 5 7 0 7 2 21 x2 x khi x 0 2 2 Câu 16. Cho hàm số f (x) . Khi đó I 2 cos xf sin x dx 2 f 3 2x dx bằng x khi x 0 0 0 7 8 10 A. . B. .C. 3 .D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D 2 2 Ta có: I 2 cos xf sin x dx 2 f 3 2x dx I I 1 2 0 0 x 0 t 0 Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận . x t 1 2 1 1 1 I 2 f t dt f t dt f x dx 1 0 1 1 x2 x khi x 0 Do f (x) x khi x 0 0 1 2 I xdx x2 x dx . 1 1 0 3 1 x 0 t 3 Đặt t 3 2x dt 2dx dx dt . Đổi cận . 2 x 2 t 1 3 3 I f t dt f x dx 2 1 1 x2 x khi x 0 Do f (x) x khi x 0